Question

已知雙曲線

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，其中一條漸近線方程為y=x，點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線，求

PF1

•

PF2

的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線方程寫出漸近線，由已知可得b，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合點(diǎn)P在雙曲線上，得到所求數(shù)量積為2x₀²-6，再由雙曲線的范圍，即可得到范圍．

解答： 解：雙曲線

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）的漸近線方程為：y=±

b

2

x，
由于其中一條漸近線方程為y=x，則b=

2

，
即有雙曲線方程為：x²-y²=2．
即有左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
則

PF1

•

PF2

=（-2-x₀，-y₀）•（2-x₀，-y₀）=x₀²+y₀²-4
又點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線上，即有x₀²-y₀²=2，
即y₀²=x₀²-2，
即有

PF1

•

PF2

=2x₀²-6，
由雙曲線的性質(zhì)，可得x₀²≥2，
則有

PF1

•

PF2

≥4-6=-2．
故所求范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．