Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD中點．

（1）證明：CD⊥平面PAE；
（2）若直線PB與平面ABCD所成角為45°，求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推導出CD⊥AE，PA⊥CD，由此能證明CD⊥平面PAE．
（2）過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于點F，G，連接PF，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 證明：（1）連接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中點，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，
所以CD⊥平面PAE．
（2）過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于點F，G，連接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，
則∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角．
∴∠PBA=45°，∴PA=AB=4，
以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
平面APD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
P（0，0，4），D（0，5，0），C（4，3，0），
$\overrightarrow{PD}$=（0，5，-4），$\overrightarrow{PC}$=（4，3，-4），
設平面PDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=5y-4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=4x+3y-4z=0}\end{array}\right.$，取y=4，得$\overrightarrow{m}$=（2，4，5），
設二面角A-PD-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{45}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．
∴二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解時要認真審題，注意向量法的合理運用．