Question

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，單位圓O與y軸負半軸交于點O'，過點O'作與x軸平行的直線AB，射線O'P從O'A出發(fā)，繞著點O'逆時針方向旋轉至O'B，在旋轉的過程中，記∠AO'P=x（0＜x＜π），O'P所經(jīng)過的在單位圓O內(nèi)區(qū)域（陰影部分）的面積為S．
（1）如果$x=\frac{π}{2}$，那么S=$\frac{π}{2}$； 
（2）關于函數(shù)S=f（x）的以下兩個結論：
①對任意$x∈（0，\frac{π}{2}）$，都有$f（\frac{π}{2}-x）+f（\frac{π}{2}+x）=π$；
②對任意x₁，x₂∈（0，π），且x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$．
其中正確的結論的序號是①．

Answer 1

分析 （1）由題意$x=\frac{π}{2}$，O'P所經(jīng)過的在單位圓O內(nèi)區(qū)域（陰影部分）的面積為S為半個單位圓．
（2）①對任意$x∈（0，\frac{π}{2}）$，根據(jù)圖形可得f（x）+f（π-x）剛好為單位圓的面積π，$0＜\frac{π}{2}-x＜\frac{π}{2}$⇒$f（\frac{π}{2}-x）+f（\frac{π}{2}+x）=π$；
②依題意可得函數(shù)S=f（x）單調(diào)增，即可判定．

解答 解：（1）由題意，圓O的半徑為1，如果$x=\frac{π}{2}$，那么S=$\frac{1}{2}×$π×1²=$\frac{π}{2}$；
（2）①對任意$x∈（0，\frac{π}{2}）$，根據(jù)圖形可得f（x）+f（π-x）剛好為單位圓的面積π，∵$0＜\frac{π}{2}-x＜\frac{π}{2}$⇒$f（\frac{π}{2}-x）+f（\frac{π}{2}+x）=π$，故①正確；
②依題意可得函數(shù)S=f（x）單調(diào)增，所以對任意x₁，x₂∈（0，π），且x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$．錯
故答案為：①

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與實際問題的結合，通過幾何圖形得到函數(shù)的對稱性、單調(diào)性是關鍵．