Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，且函數(shù)$f（x+\frac{π}{12}）$是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． f（x）在$[{\frac{3π}{4}，π}]$上單調(diào)遞增
• B． f（x）的最小正周期為2π
• C． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{7π}{12}，0）$對(duì)稱
• D． f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{7π}{12}$對(duì)稱

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象特征、三角函數(shù)的奇偶性求得ω和φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．
又函數(shù)$f（x+\frac{π}{12}）$=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ）是偶函數(shù)，∴$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
在$[{\frac{3π}{4}，π}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{11π}{6}$，$\frac{7π}{3}$]，故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）單調(diào)遞增，故A正確．
由于f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，故B錯(cuò)誤．
由于當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時(shí)，f（x）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，為函數(shù)的最小值，故f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{7π}{12}$對(duì)稱，故C錯(cuò)誤．
由于當(dāng)x=-$\frac{7π}{12}$時(shí)，f（x）=sin（-$\frac{5π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，不是函數(shù)的最值，故f（x）的圖象不于直線x=$\frac{7π}{12}$對(duì)稱，故D錯(cuò)誤，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．