Question

【題目】如圖，已知定圓，定直線，過(guò)的一條動(dòng)直線與直線相交于，與圓相交于，兩點(diǎn)，是中點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)與垂直時(shí)，求證：過(guò)圓心；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)，試問(wèn)是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出的值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）或；（III）的值為定值.

【解析】

試題分析：（I）由已知，故，所以直線的方程為，即可證明；（II）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解；（III）當(dāng)與軸垂直時(shí)，易得，，求得；當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可求解定值.

試題解析：（Ⅰ）由已知，故，所以直線的方程為.

將圓心代入方程易知過(guò)圓心.

（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，由于，

所以，由，解得.

故直線的方程為或.

（Ⅲ）當(dāng)與軸垂直時(shí)，易得，，又，則，

，故,即.

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入圓的方程得

，則.

，即，

.又由得，

則.

故，

綜上，的值為定值，且.

另解一：連結(jié)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由（Ⅰ）知，又于，

故.于是有.

由，，得.

故.

另解二：連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連結(jié)，，由（Ⅰ）知，又，

所以四點(diǎn)都在以為直徑的圓上，由相交弦定理得

.