Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程為3x-y+1=0，且在x=

2

3

處有極值．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；  
（2）求函數(shù)y=f（x）的極大值與極小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)，由已知切線斜率，得到方程，解出a，b，c即可；
（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)大于0和小于0，求出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，進(jìn)而得到極大值和極小值．

解答： 解：（1）由題意得 M（1，4），f′（x）=3x²+2ax+b，
即有

f(1)=1+a+b+c=4 f′(1)=3+2a+b=3 f′( 2 3 )= 4 3 + 4 3 a+b=0

解得，a=2，b=-4，c=5
則f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0得x=-2或

2

3

，
當(dāng)x＞

2

3

或x＜-2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)-2＜x＜

2

3

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
則x=-2時(shí)，f（x）取得極大值，且為-8+8+8+5=13，
當(dāng)x=

2

3

時(shí)，f（x）取得極小值，且為

8

27

+

8

9

-

8

3

+5=

95

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求極值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．