Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)T（-8，0），點(diǎn)R，Q分別在x和y軸上，$\overrightarrow{QT}•\overrightarrow{QR}=0$，點(diǎn)P是線段RQ的中點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）直線L與圓（x+1）²+y²=1相切，直線L與曲線E交于M，N，線段MN中點(diǎn)為A，曲線E上存在點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OC}$=2λ$\overrightarrow{OA}$（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y）則R（2x，0），Q（0，2y），由$\overrightarrow{QT}•\overrightarrow{QR}=0$求曲線E的方程；
（2）先求出b的取值范圍，再利用λ=1+$\frac{1}{4+2b}$，即可求λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y）則R（2x，0），Q（0，2y），由$\overrightarrow{QT}•\overrightarrow{QR}=0$得曲線E的方程為y²=4x，4（分）
（2）設(shè)直線L的方程為x=my+b，由L與圓相切得m²=2b+b²，…（I）
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$得y²-4my-4b=0，△=（-4m）²+16b＞0…（II）
由（I）（II）得b∈（-∞，-3）∪（0，+∞），8（分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（x，y）則${y_1}+{y_2}=4m，{x_1}+{x_2}=4{m^2}+2b$，
又$\overrightarrow{OC}$=2λ$\overrightarrow{OA}$（λ＞0），則x=λ（x₁+x₂），y=λ（y₁+y₂）
代入y²=4x中得${λ}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=4λ（{x}_{1}+{x}_{2}）$，即λ=1+$\frac{1}{4+2b}$，則$λ∈（\frac{1}{2}，1）∪（1，\frac{5}{4}）$12（分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題．