Question

已知f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a≠-2，a∈R），
（Ⅰ）若f（x）能表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）和一個(gè)偶函數(shù)h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）在區(qū)間（-∞，（a+1）²]上都是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，比較的大�。�

Answer 1

解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴g（x）+h（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|，-g（x）+h（x）=x²-（a+1）x+lg|a+2|，
∴g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|；
（Ⅱ）由函數(shù)g（x）=（a+1）x在（-∞，（a+1）²]上是減函數(shù)，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=（x+）2-+lg|a+2|在區(qū)間（-∞，（a+1）²]上是減函數(shù)，
∴（a+1）2≤-，解得-≤a≤-1
∵f（x）和g（x）在區(qū)間（-∞，（a+1）²]上都是減函數(shù)，
∴-≤a＜-1；
（Ⅲ）f（1）=1+（a+1）+lg|a+2|=a+2+lg|a+2|（-≤a＜-1）
F（a）=a+2+lg|a+2|在[-，-1）上是增函數(shù)
∴f（1）≥=-+2+lg|-+2|=+lg＞．
分析：（I）根據(jù)題意可知f（x）=g（x）+h（x），再根據(jù)奇偶性求出f（-x），從而建立方程組，解之即可求出g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行配方求出對(duì)稱軸，利用f（x）在區(qū)間（-∞，（a+1）²]上是減函數(shù)，建立關(guān)系式可求出a的范圍，然后根據(jù)函數(shù)g（x）=（a+1）x是區(qū)間（-∞，（a+1）²]上減函數(shù)，建立關(guān)系求出a的范圍，從而可得結(jié)論；
（Ⅲ）表示出f（1），確定相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查大小比較，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．