Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)是⊙O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線FD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．連接CF交AB于點(diǎn)E．
求證：DE²=DB•DA．

Answer 1

【答案】分析：欲證DE²=DB•DA，由于由切割線定理得DF²=DB•DA，故只須證：DF=DE，也就是要證：∠CFD=∠DEF，這個(gè)等式利用垂直關(guān)系通過(guò)互余角的轉(zhuǎn)換即得．
解答：證明：連接OF．
因?yàn)镈F切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因?yàn)镺C=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因?yàn)镃O⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因?yàn)镈F是⊙O的切線，所以DF²=DB•DA．所以DE²=DB•DA．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的與圓有關(guān)的比例線段、切線的性質(zhì)、切割線定理的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．