Question

【題目】已知是定義在上的偶函數(shù)，對于,都有,當時，，若在[-1,5]上有五個根，則此五個根的和是（ ）

A. 7 B. 8 C. 10 D. 12

Answer 1

【答案】C

【解析】

由已知可得f（x）是周期為4的函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱，結(jié)合圖象可知，若a[f（x）]2﹣bf（x）+3=0在[﹣1，5]上有五個根，則f（x）=﹣1或0＜f（x）＜1．f（x）=﹣1時，x=2；0＜f（x）＜1時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得四個根的和為0+8=8，即可得到結(jié)論．

∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=﹣x2+1，

設(shè)﹣1≤x≤0時，則0≤﹣x≤1，∴f（x）=f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1，

又f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為4的函數(shù)，

∵f（x）是偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（2+x）=﹣f（x），∴f（2+x）+f（﹣x）=0，

以x﹣1代x，可得f（1+x）+f（1﹣x）=0，

∴f（x）關(guān)于（1，0）對稱，f（x）在[﹣1，5]上的圖象如圖：

∵a[f（x）]2﹣bf（x）+3=0在[﹣1，5]上有5個根xi（i=1，2，3，4，5），

結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可得f（x）=﹣1或0＜f（x）＜1，

當f（x）=﹣1時，x=2；0＜f（x）＜1時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得四個根的和為0+8=8．

∴x1+x2+x3+x4+x5的值為10．

故選：C．