Question

若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數的底數)．

（1）求的極值；

（2）函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，取得極小值0（2）存在隔離直線

【解析】

試題分析：(1) ，

．        

當時，．         

當時，，此時函數遞減； 

當時，，此時函數遞增；

∴當時，取極小值，其極小值為．  

(2) ：由（1）可知函數和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．          

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．                                

由，可得當時恒成立．

，                             

由，得．                   

下面證明當時恒成立．

令，則

，                

當時，．

當時，，此時函數遞增；

當時，，此時函數遞減；

∴當時，取極大值，其極大值為．   

從而，即恒成立．

∴函數和存在唯一的隔離直線．

考點：函數極值最值及不等式恒成立問題

點評：第二問中首先找到兩曲線的交點是求解本題的關鍵，給定信息中滿足的不等式恒成立將其轉化為求函數最值滿足大于等于零或小于等于零，這樣即可利用函數導數這一工具來求解