Question

13．設直線l為公海的分界線，一巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)了北偏東60°的海面B處有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接應的走私海輪C航行，以便上海輪后逃竄．已知巡邏艇的航速是走私船航速的2倍，A與公海相距約為20海里，走私船可能向任一方向逃竄，請回答下列問題：
（1）如果走私船和巡邏艇都是沿直線航行，那么走私船能被截獲的點是哪些？
（2）根據(jù)截獲點的軌跡，探討“可截獲區(qū)域”和“非截獲區(qū)域”．

Answer 1

分析 以A為原點，以正東方向為x軸，以海里為單位建立直角坐標系，設|AB|=2t（t＞0）；
（1）設截獲點為P（x，y），利用|PA|=2|PB|得出截獲點的軌跡是圓；
（2）設點Q（x，y）在截獲點所在的圓內(nèi)部，列出不等式求出可截獲區(qū)域和非截獲區(qū)域．

解答 解：以A為原點，以正東方向為x軸，并以海里為單位建立直角坐標系，
如圖所示；
設|AB|=2t，（t＞0），則$B=（\sqrt{3}t，t）$；
（1）設截獲點為P（x，y），則|PA|=2|PB|，
即$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=2\sqrt{（x-\sqrt{3t{）^2}}+{{（y-t）}^2}}$，
化簡得${（x-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t）^2}+{（y-\frac{4}{3}t）^2}={（\frac{4}{3}t）^2}$；
所以，截獲點的軌跡是以$D（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t，\frac{4}{3}t）$為圓心，$\frac{4}{3}t$為半徑的圓；
（2）設點Q（x，y）在圓D內(nèi)部，則
${（x-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t）^2}+{（y-\frac{4}{3}t）^2}＜{（\frac{4}{3}t）^2}$，
化簡得$\sqrt{{x^2}+y{\;}^2}＞2\sqrt{（x-\sqrt{3t{）^2}}+{{（y-t）}^2}}$，
即|QA|＞2|QB|；
所以，可截獲區(qū)域為領海上的圓D外部，
非截獲區(qū)域為領海上的圓D內(nèi)部．

點評 本題考查了圓的方程與方向向量的應用問題，也考查了數(shù)學建模的應用問題，是綜合性題目