Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若對于任意的a∈[1，2]，若函數(shù)g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]在區(qū)間（a，3）上有最值，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的定義域與 f′（x），通過當a＜0時，當a＞0時，判斷導函數(shù)的符號，推出單調(diào)性與極值．
（2）化簡g（x），求出g′（x），利用g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，說明g（x）在區(qū)間（a，3）上有極值，方程g'（x）=0在（a，3）上有一個或兩個不等實根，列出不等式組，轉(zhuǎn)化為對任意a∈[1，2]，g′（a）=3a²+（m+2a）a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，得到m＜$\frac{1-5{a}^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}-5a$，然后求解即可．

解答 解：（1）由已知得f（x）的定義域為（0，+∞），且 f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，…（2分）
當a＜0時，$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)增，f（x）無極值；…（3分）
當a＞0時，
由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0得：0＜x＜\frac{1}{a}$，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＜0得：x＞\frac{1}{a}$，
∴$f（x）在（0，\frac{1}{a}）上單調(diào)遞增，在（\frac{1}{a}，+∞）上單調(diào)遞減$．…（4分）
∴$f（x）的極大值f（\frac{1}{a}）=-（lna+4）$，無極小值． …（5分）
綜上：當a＜0時，f（x）無極值；
當a＞0時，$f（x）有極大值f（\frac{1}{a}）=-（lna+4）$，無極小值． …（6分）
（2）g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]=x³+（$\frac{m}{2}$+a）x²-x，
∴g′（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，
∴g（x）在區(qū)間（a，3）上有極值，即方程g'（x）=0在（a，3）上有一個或兩個不等實根，
又g′（0）=-1，∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（a）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$，…（9分）
由題意知：對任意a∈[1，2]，g′（a）=3a²+（m+2a）a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，
∴m＜$\frac{1-5{a}^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}-5a$，因為a∈[1，2]，∴m＜$-\frac{19}{2}$   
對任意a∈[1，2]，g′（3）=26+3m+6a＞0恒成立
∴m＞$\frac{-6a-26}{3}$=$-\frac{26}{3}-2a$，
∵a∈[1，2]，∴m＞-$\frac{32}{3}$，
∴-$\frac{32}{3}＜m＜-\frac{19}{2}$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)恒成立，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應用，考查計算能力．