Question

14．某加油站工作人員根據(jù)以往該加油站的銷售情況，繪制了該加油站日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．
（1）求未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售量不低于40噸，另一天的日銷售量低于40噸的概率；
（2）用ξ表示未來(lái)3天日銷售量不低于40噸的天數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出日銷售量不低于40噸的頻率為0.4，記未來(lái)3天內(nèi)，第i天日銷售量不低于40噸的事件為A_i（i=1，2，3），則P（A_i）=0.4，未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售量不低于40噸，另一天的日銷售量低于40噸包含兩個(gè)互斥事件：${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$和$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$，由此能求出未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售量不低于40噸，另一天的日銷售量低于40噸的概率．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，0.4），由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知：
日銷售量不低于40噸的頻率為：10×（0.025+0.015）=0.4，
記未來(lái)3天內(nèi)，第i天日銷售量不低于40噸的事件為A_i（i=1，2，3），
則P（A_i）=0.4，
未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售量不低于40噸，另一天的日銷售量低于40噸包含兩個(gè)互斥事件：
${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$和$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$，
∴未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售量不低于40噸，另一天的日銷售量低于40噸的概率為：
P（${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$∪$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$）=P（${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$）+P（$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$）
=0.4×0.4×（1-0.4）+（1-0.4）×0.4×0.4=0.192．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-0.4）²=0.216，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×0.4×（1-0.4）^{2}$=0.432，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}×0．{4}^{2}×（1-0.4）$=0.288，
P（ξ=3）=0.4³=0.064，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

Eξ=0×0.216+1×0.432+2×0.228+3×0.064=1.2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)及二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．