設(shè)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)且滿足f（x+2）=f（x+1）-f（x）．已知f（1）=lg數(shù)學公式，f（2）=lg15．
（1）通過計算f（3），f（4），…，由此猜測函數(shù)的周期T，并據(jù)周期函數(shù)的定義給出證明；
（2）求f（2009）的值．

解（1）f（1）=lg
f（2）=lg15
f（3）=f（2）-f（1）=lg15-（lg3-lg2）=lg5+lg2=1
f（4）=f（3）-f（2）=1-lg15 …+3
f（5）=f（4）-f（3）=1-lg15-1=-lg15 …+4
f（6）=f（5）-f（4）=-lg15-（1-lg15）=-1 …+5
f（7）=f（6）-f（5）=-1+lg15=lg…+6
猜測：T=6 …+7
證明：f（x+2）=f（x+1）-f（x）
f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x）-f（x+1）=-f（x）
f（x+6）=-f（x+3）=f（x）
所以 f（x）是一個周期為6的函數(shù)
（2）因為f（2009）=f（6×334+5）=f（5）=-lg15
分析：（1）根據(jù)f（x+2）=f（x+1）-f（x），f（1）=lg，f（2）=lg15，可求出f（3），f（4），…，由此猜測函數(shù)的周期T，然后證明即可；
（2）根據(jù)周期性可知f（2009）=f（6×334+5）=f（5），從而求出所求．
點評：本題主要考查了函數(shù)的周期，以及遞推關(guān)系和猜測與證明，同時考查了計算能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用Ik表示區(qū)間（2k-1，2k+1]，已知當x∈I0時，f（x）=x2．
（1）求f（x）在Ik上的解析表達式；
（2）對自然數(shù)k，求集合Mk={a|使方程f（x）=ax在Ik上有兩個不等的實根}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，且f（a）f（b）＜0，則方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log
1
2
x與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y=x對稱，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，則
4
a
+
1
b
的最大值為
-9
-9

（2）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=g（x）-1，若關(guān)于x的方程f（x）-lo
g
(x+2)
a
=0（a＞1）在區(qū)間（-2，6]內(nèi)恰有三個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是
(
34
，2)
(
34
，2)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+2），且當x∈[-1，0]時f（x）=（
12
）x-1，則關(guān)于x的方程f（x）-log3（x+2）=0在[-1，3]內(nèi)實根的個數(shù)為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（A類）已知函數(shù)g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的圖象恒過定點A，且點A又在函數(shù)f（x）=log
3
（x+a）的圖象上．
（1）求實數(shù)a的值；                （2）解不等式f（x）＜log
3
a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有兩個不等實根時，求b的取值范圍．
（B類）設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）的值；     （2）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

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