Question

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z，用I_k表示區(qū)間（2k-1，2k+1]，已知當(dāng)x∈I₀時(shí)，f（x）=x²．
（1）求f（x）在I_k上的解析表達(dá)式；
（2）對(duì)自然數(shù)k，求集合M_k={a|使方程f（x）=ax在I_k上有兩個(gè)不等的實(shí)根}

Answer 1

分析：（1）利用2為周期2k也是周期可得f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²即為所求．
（2）轉(zhuǎn)化為x²-（4k+a）+4k²=0在區(qū)間I_k上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，再求有兩個(gè)不相等的實(shí)根成立的條件即可．

解答：解：（1）∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，
∴當(dāng)k∈Z時(shí)，2k也是f（x）的周期．
又∵當(dāng)x∈I_k時(shí)，（x-2k）∈I₀，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²．
即對(duì)k∈Z，當(dāng)x∈I_k時(shí)，f（x）=（x-2k）²．
（2）當(dāng)k∈Z且x∈I_k時(shí)，
利用（1）的結(jié)論可得方程（x-2k）²=ax，整理得：x²-（4k+a）+4k²=0．
它的判別式是△=（4k+a）²-16k²=a（a+8k）．
上述方程在區(qū)間I_k上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是a滿足

a(a+8k)＞0 2k-1＜ 1 2 [4k+a- a(a+8k) ] 2k+1≥ 1 2 [4k+a+ a(a+8k) ]

化簡(jiǎn)得

a(a+8k)＞0，(1) a(a+8k) ＜2+a，(2) a(a+8k) ≤2-a，(3)

由（1）知a＞0，或a＜-8k．
當(dāng)a＞0時(shí)：因2+a＞2-a，故從（2），（3）
可得

a(a+8k)

≤2-a，即

a(a+8k)≤(2-a)2 2-a＞0

當(dāng)a＜-8k時(shí)：2+a＜2-8k＜0，
易知

a(a+8k)

＜2+a無解，
綜上所述，a應(yīng)滿足0＜a≤

1

2k+1

故所求集合Mk={a|0＜a≤

1

2k+1

}

點(diǎn)評(píng)：本題借助于函數(shù)的周期性對(duì)函數(shù)解析式的求法和根的存在性'根的個(gè)數(shù)的判斷的綜合考查，是道中檔題．