Question

7．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域D內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$是否屬于集合M？說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=kx+b屬于集合M，試求實(shí)數(shù)k和b滿足的約束條件；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$屬于集合M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）計(jì)算是否存在存在x₀即可判斷；
（2）函數(shù)f（x）=kx+b屬于集合M，必滿足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．待定系數(shù)法可得實(shí)數(shù)k和b滿足的約束條件；
（3）函數(shù)f（x）=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$屬于集合M，必滿足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．即可實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$，
（1）由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），可得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$+1，即${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+1=0$，
∵△＜0，
∴不存在存在x₀．
（2）f（x）=kx+b屬于集合M，
由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
可得：k（x+1）+b=kx+b+k+b，即kx+k+b=kx+k+2b，
∴k∈R，b=0．
（3）f（x）=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$，
由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
可得：lg$\frac{a}{{（x+1）}^{2}+1}$=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$+lg$\frac{a}{2}$
∴l(xiāng)g$\frac{a}{{（x+1）}^{2}+1}$=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$+lg$\frac{a}{2}$，
∴$a=\frac{2{x}^{2}+2}{（x+1）^{2}+1}$．
∵在定義域D內(nèi)存在x₀，
∴令$y=\frac{2{x}^{2}+2}{（x+1）^{2}+1}$．
則yx²+2xy+2y=2x²+2，
即（y-2）x²+2xy+2y-2=0，
∵y≠2，△≥0．
∴$3-\sqrt{5}≤y≤\sqrt{5}+3$．
故得實(shí)數(shù)a的取值范圍[$3-\sqrt{5}$，$3+\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)新定義的理解和運(yùn)用．抓住題中的特點(diǎn)、方程的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想在題目當(dāng)中的應(yīng)用．此題屬于集運(yùn)算與方程、函數(shù)不等式于一體的綜合問(wèn)題．