19．已知函數(shù)f（x）=x（x+k）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=3x+a，則數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前2017項(xiàng)和為$\frac{2017}{2018}$．

分析 f′（x）=2x+k，f′（1）=2+k=3，解得k．可得f（x）=x2+x.$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+k，f′（1）=2+k=3，解得k=1．
∴f（x）=x2+x．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前2017項(xiàng)和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故答案為：$\frac{2017}{2018}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R．
（1）令g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求g（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．函數(shù)y=2sinx（x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]）的值域是（　　）
A．[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]B．[1，$\sqrt{3}$]C．[1，2]D．[$\frac{1}{2}$，1]

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7．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域D內(nèi)存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$是否屬于集合M？說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=kx+b屬于集合M，試求實(shí)數(shù)k和b滿足的約束條件；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$屬于集合M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．在△ABC中，“sinA≤sinB“是”A≤B“的（　�。�
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．已知f（x）=loga（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），（a＞0，a≠1），f（2）=2，則f（-2）=-2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．從圓x2-2x+y2-2y+1=0外一點(diǎn)P（3，2）向這個(gè)圓作切線，切點(diǎn)為Q，則切線段PQ=2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c向量$\overrightarrow{m}$=（4，-1），$\overrightarrow{n}$=（cos2$\frac{A}{2}$，cos2A），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{7}{2}$
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，b=c時(shí)，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an=-3Sn+4，bn=-log2an+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令cn=$\frac{_{n}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，其中n∈N*，若數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．

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