Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).

(1) 證明：AE⊥平面PCD；

(2) 求PB和平面PAD所成的角的大小.

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2) 45°.

【解析】試題分析：(1) 要證明AE⊥平面PCD，只要證明AE⊥PC，結(jié)合AE⊥CD，即可證明結(jié)論；(2) 求PB和平面PAD所成的角的大小，說(shuō)明∠APB就是要求的角即可求解

試題解析：(1)證明 在四棱錐P—ABCD中，因?yàn)?/span>PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

故CD⊥PA.…1分 由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A，…2分 ∴CD⊥平面PAC.…3分

又AE平面PAC，∴AE⊥CD.…4分由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.…5分

∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.…6分 又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD.…7分

(2)在四棱錐P—ABCD中，因?yàn)?/span>PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故PA⊥AB.…8分

又AB⊥AD，PA∩AD＝A，則 AB⊥平面PAD，…9分 故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，則∠APB為PB和平面PAD所成的角.……10分 在Rt△PAB中，AB＝PA，

故∠APB＝45°.…11分所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.……12分