Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過(guò)定點(diǎn)A （1，0）．
（1）若l₁與圓C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁的傾斜角為

π

4

，l₁與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若l₁與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時(shí)l₁的直線方程．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)直線l₁的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，判斷直線是否存在，求出k，即可求l₁的方程；
（2）l₁的傾斜角為

π

4

，直接求出l₁的方程，利用直線l₁與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，直接轉(zhuǎn)化為過(guò)圓心與直線l₁垂直的中垂線方程，解兩條直線方程的交點(diǎn)即可；
（3）l₁與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，求出圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)，得到三角形CPQ的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值時(shí)的距離，然后求出直線的斜率，得到l₁的直線方程．

解答：解：（1）解：①若直線l₁的斜率不存在，則直線x=1，圓的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為2，符合題意．
②若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，
解之得  k=

3

4

．所求直線方程是：x=1，或3x-4y-3=0．
（2）直線l₁方程為y=x-1．∵PQ⊥CM，∴CM方程為y-4=-（x-3），即x+y-7=0．
∵

y=x-1 x+y-7=0

∴

x=4 y=3.

∴M點(diǎn)坐標(biāo)（4，3）．
（3）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，
則圓心到直l1的距離d=

|2k-4|

1+k2

．
又∵三角形CPQ面積

S= 1 2 d×2 4-d2 =d 4-d2 = 4d2-d4 = -(d2-2)2+4 ，

∴當(dāng)d=

2

時(shí)，S取得最大值2．∴d=

|2k-4|

1+k2

=

2

，k=1或k=7．
∴直線方程為y=x-1，或y=7x-7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切，相交，直線的交點(diǎn)，弦的中點(diǎn)，三角形的面積的最值直線方程等有關(guān)知識(shí)，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，注意直線的斜率不存在的情況，容易疏忽，是易錯(cuò)點(diǎn)．