Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0是常數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（2）對?n∈N^*，不等式恒成立，求常數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)：，由二次函數(shù)法研究導(dǎo)數(shù)大于或小于等于零，從而得到單調(diào)性．
（2）先構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln（x+1）-x-px²，求導(dǎo)得.，1≤x+1≤2，研究單調(diào)性，若，則g^/（x）≥0，函數(shù)是增函數(shù)；若，則g^/（x）≤0，函數(shù)是減函數(shù)；若，求得g（x）的極值點，最后轉(zhuǎn)化為最值法解決．
解答：解：（1），
若，f（x）在定義域區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)增加；
若，由f^/（x）=0解得，，
f（x）在（-1，x₁）上單調(diào)增加，在（x₁，x₂）上單調(diào)減少，在（x₂，+∞）上單調(diào)增加．

（2）設(shè)g（x）=ln（x+1）-x-px²，其中0≤x≤1.，1≤x+1≤2，．
若，則g^/（x）≥0，g（x）＞g（0）=0，從而?n∈N^*，；
若，則g^/（x）≤0，g（x）＜g（0）=0，從而?n∈N^*，；
若，解g^/（x）=0，得x₁=0或，而且x₂是g（x）的一個極小值點．
綜上所述，使不等式（n∈N^*）恒成立的p的取值范圍是．
點評：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零，（2）是數(shù)列不等式，需要關(guān)注兩點，一是構(gòu)造函數(shù)并運用函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列不等式，二是根據(jù)解題要求選擇是否分離變量．