Question

已知函數(shù)y=f（x）對任意的實數(shù)ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0時，f（x）＞1，
（1）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）若f（4）=5，求f（2）的值，并解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，利用函數(shù)單調(diào)性的定義作差結(jié)合已知條件判斷符號即可；
（2）利用f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5即可求得f（2）=3，再利用其單調(diào)遞增的性質(zhì)脫掉“f”，解關(guān)于m的不等式即可．

解答：解：（1）證明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0時，f（x）＞1，
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞1-1=0，
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²-m-2）＜3=f（2），又f（x）是R上的增函數(shù)；
∴3m²-m-2＜2，
∴-1＜m＜

4

3

∴不等式f（3m²-m-2）＜3的解集為：{m|-1＜m＜

4

3

}．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]是解決的關(guān)鍵，屬于中檔題．