Question

14．某綜藝節(jié)目為增強(qiáng)娛樂性，要求現(xiàn)場嘉賓與其場外好友連線互動．凡是拒絕表演節(jié)目的好友均無連線好友的機(jī)會；凡是選擇表演節(jié)目的好友均需連線未參加過此活動的3個(gè)好友參與此活動，以此下去．
（Ⅰ）假設(shè)每個(gè)人選擇表演與否是等可能的，且互不影響，則某人選擇表演后，其連線的3個(gè)好友中不少于2個(gè)好友選擇表演節(jié)目的概率是多少？
（Ⅱ）為調(diào)查“選擇表演者”與其性別是否有關(guān)，采取隨機(jī)抽樣得到如表：

	選擇表演	拒絕表演	合計(jì)
男	50	10	60
女	10	10	20
合計(jì)	60	20	80

①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認(rèn)為“表演節(jié)目”與好友的性別有關(guān)？
②將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查3名男性好友，設(shè)X為3個(gè)人中選擇表演的人數(shù)，求X的分布列和期望．
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$；

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列舉法，確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求出概率；
（Ⅱ）①根據(jù)2×2列聯(lián)表，得到K²=$\frac{80（50×10-10×10）^{2}}{60×20×60×20}$≈8.9＞6.635，即可得出結(jié)論；
②由題意，每名男性選擇表演的概率為$\frac{5}{6}$，則X～B（3，$\frac{5}{6}$），可得X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）這3位好友選擇表演分別記為A，B，C，則$\overline{A}$，$\overline{B}$，$\overline{C}$分別表示這3位好友拒絕表演．這3位好友參與該活動的可能結(jié)果為{A，B，C}，{$\overline{A}$，B，C}，{A，$\overline{B}$，C}，{A，B，$\overline{C}$}，{$\overline{A}$，$\overline{B}$，C}，{A，$\overline{B}$，$\overline{C}$}，{$\overline{A}$，B，$\overline{C}$}，{$\overline{A}$，$\overline{B}$，$\overline{C}$}共有8種．其中3位好友不少于3位好友選擇表演的可能結(jié)果有4種．根據(jù)古典概型公式，所求概率為P=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）①根據(jù)2×2列聯(lián)表，得到K²=$\frac{80（50×10-10×10）^{2}}{60×20×60×20}$≈8.9＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“表演節(jié)目”與好友的性別有關(guān)．
②由題意，每名男性選擇表演的概率為$\frac{5}{6}$，則X～B（3，$\frac{5}{6}$），
所以隨機(jī)變量X的概率分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{125}{216}$

故隨機(jī)變量X的期望為EX=3×$\frac{5}{6}$=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的計(jì)算，考查X的分布列和期望，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識的運(yùn)用，屬于中檔題．