Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，記函數(shù)f(x)=

a

•

b

+|

b

|2．
（1）求函數(shù)f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則列出f（x）的解析式，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（2）由第一問(wèn)確定出的f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：因?yàn)?span id="0wgsgc4" class="MathJye">

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，
所以f(x)=

a

•

b

+|

b

|2=5

3

sinxcosx+2cos2x+sin²x+4cos²x
=5

3

sinxcosx+6cos2x+sin²x
=

5 3

2

sin2x+

1-cos2x

2

+3(1+cos2x)
=

5 3 sin2x+5cos2x+7

2

=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

，
∴T=

2π

2

=π．
當(dāng)x∈{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}時(shí)，f（x）的最大值為

17

2

．
當(dāng)x∈{x|x=

2π

3

+kπ，k∈Z}時(shí)，f（x）的最小值為-

3

2

．
（2）f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
令k=0，-

π

3

≤x≤

π

6

∴0≤x≤

π

6

，
k=1，

2π

3

≤x≤

7π

6

∴

2π

3

≤x≤π．
f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間：[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)的周期及其求法，三角函數(shù)的最值，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性．利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則及三角函數(shù)的恒等變換確定出f（x）的解析式是解本題的關(guān)鍵．