Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，M為短軸端點(diǎn)，且S_△${\;}_{M{F}_{1}{F}_{2}}$=4，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)O作兩條射線，與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，兩邊平方，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即兩條射線OA、OB互相垂直．討論直線AB斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)整理，可得O到直線的距離為定值．

解答 解：（1）因?yàn)闄E圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
由題意得${S_{△M{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}×2c×b=4$，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²=b²+c²，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1； 　
（2）由$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，
即有$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²-2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
所以有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即兩條射線OA、OB互相垂直． 　　　　　　　　
當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，容易求出直線AB的方程為$x=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$或x=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
此時(shí)原點(diǎn)與直線AB的距離$d=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$；
當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+m，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$得x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$；
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
即有3m²-8k²-8=0，
∴${m^2}=\frac{{8（{k^2}+1）}}{3}$，
∴O到直線AB的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{\frac{{8（{k^2}+1）}}{3}}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
綜上：O到直線AB的距離為定值$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，同時(shí)考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．