Question

已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡得f（x）=

1

2

sin(2x-

π

3

)，從而可求f（x）的最小正周期；
（2）由-

π

4

≤x≤

π

4

⇒-

5π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

⇒-1≤sin(2x-

π

3

)≤

1

2

，所以可求f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值和最大值．

解答： 解：（1）∵f(x)=cosx•sin(x+

π

3

)-

3

cos2x+

3

4

=cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

cos2x+

3

4

=

1

2

sinxcosx-

3

2

cos2x+

3

4

=

1

2

sinxcosx-

3

4

(1+cos2x)+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x
=

1

2

sin(2x-

π

3

)；
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
（2）-

π

4

≤x≤

π

4

⇒-

5π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

⇒-1≤sin(2x-

π

3

)≤

1

2

當(dāng)2x-

π

3

=-

π

2

，即x=-

π

12

時(shí)，f（x）取最小值-

1

2

；
當(dāng)2x-

π

3

=

π

6

，即有x=

π

4

時(shí)，f（x）取最大值

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用以及三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于中檔題．