17.如圖,四棱錐S-ABCD中,SA=SD=BC,底面ABCD為正方形,且平面SAD⊥平面ABCD,M,N分別是AB,SC的中點.
(1)若R為CD中點,分別連接MR,RN,NM,求證:BC∥平面MNR;
(2)求二面角S-CM-D的余弦值.

分析 (1)推導出四邊形MBCR是平行四邊形,從而RC∥MB,由此能證明BC∥平面MNR.
(2)取AD的中點O,連結OS,過O作AD的垂線交BC于G,分別以OA、OG、OS為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角S-CM-D的余弦值.

解答 證明:(1)∵四邊形ABCD為正方形,∴AB∥DC,AB=DC,
∵M,N分別是AB,DC的中點,
∴RC∥MB,RC=MB,
∴四邊形MBCR是平行四邊形,
∴RC∥MB,
∵BC?平面MNR,MB?平面MNR,
∴BC∥平面MNR.
解:(2)取AD的中點O,連結OS,
過O作AD的垂線交BC于G,分別以OA、OG、OS為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,
設正方形ABCD的邊長為2,
則C(-1,2,0),M(1,1,0),S(0,0,$\sqrt{3}$),
∴$\overrightarrow{CM}$=(2,-1,0),$\overrightarrow{SM}$=(1,1,-$\sqrt{3}$),
設平面SCM的一個法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=2x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SM}=x+y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,2,$\sqrt{3}$),
平面ABCD的一個法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
設二面角S-CM-D的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$.
∴二面角S-CM-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$.

點評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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