Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₄（3x+1）．
（Ⅰ）若f（x）≤g（x），求x的取值范圍D；
（Ⅱ）設H（x）=g（x）-

1

2

f（x），當x∈D時，求函數(shù)H（x）的值域．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）若f（x）≤g（x），根據(jù)對數(shù)的運算法則解對數(shù)不等式即可求x的取值范圍D；
（Ⅱ）求出H（x）=g（x）-

1

2

f（x）的表達式，結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性之間的關系即可求出當x∈D時，求函數(shù)H（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）≤g（x），
則log₂（x+1）≤log₄（3x+1）=

1

2

log₂（3x+1）=log₂

3x+1

．
則滿足

x+1＞0 3x+1＞0 x+1＜ 3x+1

，
即

x＞-1 x＞- 1 3 x2+2x+1＜3x+1

，即

x＞-1 x＞- 1 3 0＜x＜1

，
解得0＜x＜1，
即x的取值范圍D=（0，1）；
（Ⅱ）H（x）=g（x）-

1

2

f（x）=log₄（3x+1）-

1

2

log₂（x+1）=

1

2

log₂（3x+1）-

1

2

log₂（x+1，
設t=

3x+1

x+1

，則t=

3(x+1)-2

x+1

=3-

2

x+1

，
則函數(shù)t=

3x+1

x+1

，在D=（0，1）上為增函數(shù)，
∴1＜t＜2，
則0＜

1

2

log₂t＜1．
即0＜H（x）＜1，
故當x∈D時，函數(shù)H（x）的值域為（0，1）．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)的運算，利用復合函數(shù)單調(diào)性之間的關系是解決函數(shù)值域的基本方法．