Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F分別是線段PA、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求A點(diǎn)到平面BEF的距離．

Answer 1

分析：（1）由ABCD為正方形，∠PAD=90°，知∠PAB是平面PAD和平面ABCD所成的二面角的平面角，由平面PAD⊥平面ABCD，知∠PAB=90°，由此能夠證明PA⊥平面ABCD．
（2）以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出A點(diǎn)到平面BEF的距離．

解答：解：（1）∵ABCD為正方形，∠PAD=90°，
∴AP⊥AD，AB⊥AD，
∴∠PAB是平面PAD和平面ABCD所成的二面角的平面角，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴∠PAB=90°，
又∵PAD=90°，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵ABCD為正方形，PA=AD=2，E、F分別是線段PA、CD的中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（1，2，0），
∴

EF

=（1，2，-1），

EB

=（2，0，-1），
設(shè)平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

EF

=0，

n

•

EB

=0，
∴

x+2y-z=0 2x-z=0

，解得

n

=(2，1，4)，
∵

AE

=(0，0，1)，
∴A點(diǎn)到平面BEF的距離d=

| AE • n |

| n |

=

4

21

=

4 21

21

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．