Question

11．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a₁=-1，且a₂，a₃，a₆成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，由a₂，a₃，a₆成等比數(shù)列，可得：${a}_{3}^{2}$=a₂a₆，即（-1+2d）²=（-1+d）（-1+5d），解出利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，∵a₂，a₃，a₆成等比數(shù)列，
∴${a}_{3}^{2}$=a₂a₆，
∴（-1+2d）²=（-1+d）（-1+5d），
化為：d²-2d=0，d≠0，d=2．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3，
S_n=-n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²-2n．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}[（-1-1）+（1-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{2n-1}）$=-$\frac{n}{2n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．