Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d為實(shí)常數(shù)）在x=0處取得極小值2，且曲線y=f（x）在x=3處的切線方程為3x+y-11=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)h₁（x）=e^x+t[f′（x）+x²-x]，h₂（x）=t[f′（x）+x²-x]-lnx．其中t為實(shí)常數(shù)，試探究是否存在區(qū)間M，使得h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，若存在，說明區(qū)間M應(yīng)滿足的條件及對(duì)應(yīng)t的取值范圍，并指出h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上的單調(diào)性；若不存在．請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出函數(shù)f（x）的解析式，
（2）先化簡(jiǎn)，h₁（x）=e^x+tx，h₂（x）=tx-lnx，分類討論求出h₁（x）和h₂（x）的單調(diào)性，即可求出答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d為實(shí)常數(shù)）在x=0處取得極小值2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴f′（0）=c=0，f（0）=d=2，
∵曲線y=f（x）在x=3處的切線方程為3x+y-11=0，
∴f′（3）=27a+6b=-3，即9a+2b=-1，①
當(dāng)x=3時(shí)，9+y-11=0，解得y=2，
∴f（3）=f（x）=27a+9b+2=2，②
由①②解得a=-$\frac{1}{3}$，b=1，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+2；
（2）f′（x）=-x²+2x，
∵h(yuǎn)₁（x）=e^x+t[f′（x）+x²-x]，h₂（x）=t[f′（x）+x²-x]-lnx，
∴h₁（x）=e^x+tx，h₂（x）=tx-lnx
∵h(yuǎn)₂（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且 h₂′（x）=t-$\frac{1}{x}$=$\frac{tx-1}{x}$，
當(dāng)t＜0時(shí)，∴h₂′（x）＜0，∴h₂（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．            
令h₁（x）=0，得x=ln（-t），
①-1≤t＜0時(shí)，ln（-t）≤0，在（ln（-t），+∞）上h₁′（x）＞0，
∴h₁（x）單調(diào)遞增，由于h₂（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以不能存在區(qū)間M，
使得h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上具有相同單調(diào)性；                                              
②若t＜-1時(shí)，ln（-t）＞0，在（-∞，ln（-t））上h₁′（x）＜0，h₁（x）單調(diào)遞減；
在（ln（-t），+∞）上h₁′（x）＞0，h₁′（x）單調(diào)遞增．由于h₂（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴存在區(qū)間M⊆（0，ln（-t）]，使得h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上均為減函數(shù)．   
當(dāng)t=0時(shí)，h₁（x）=e^x為增函數(shù)，h₂（x）=-lnx為減函數(shù)，故不能存在區(qū)間M，使得h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上具有相同單調(diào)性，
當(dāng)t＞0時(shí)，h₁（x）=e^x+tx在R上單調(diào)遞增，
由 h₂′（x）=t-$\frac{1}{x}$=$\frac{tx-1}{x}$，x＞0，
令 h₂′（x）=0，解得x=$\frac{1}{t}$，
當(dāng)h₂′（x）≥0時(shí)，即x≥$\frac{1}{t}$時(shí)，函數(shù)h₂（x）在[$\frac{1}{t}$，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)h₂′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜$\frac{1}{t}$時(shí)，函數(shù)h₂（x）在（0，$\frac{1}{t}$）上單調(diào)遞減，
∴存在區(qū)間M⊆[$\frac{1}{t}$，+∞）使得h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上均為增函數(shù)，
綜上訴述：①當(dāng)t＜-1時(shí)，存在區(qū)間M⊆（0，ln（-t）]，使得h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上均為減函數(shù)，
當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，不能存在區(qū)間M，使得h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上具有相同單調(diào)性，
當(dāng)t＞0時(shí)，存在區(qū)間M⊆[$\frac{1}{t}$，+∞）使得h₁（x）和h₂（x）在區(qū)間M上均為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于難題．