已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F1，左焦點(diǎn)為F2，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足線段PF1相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段PF1的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（　�。�
A．
5
3
B．
2
3
C．
2
2
D．
5
9
設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF1相切于點(diǎn)M，連結(jié)OM、PF2，
∵M(jìn)、O分別為PF1、F1F2的中點(diǎn)，
∴MO∥PF2，且|PF2|=2|MO|=2b，
又∵線段PF1與圓O相切于點(diǎn)M，可得OM⊥PF1，
∴PF1⊥PF2，
Rt△PF1F2中，|F1F2|=2c，|PF2|=2b，
∴|PF1|=
|F1F2|2-|PF2|2
=
4c2-4b2
，
根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a，
∴
4c2-4b2
+2b=2a，即
c2-b2
=a-b，
兩邊平方得：c2-b2=（a-b）2，即a2-2b2=（a-b）2，化簡(jiǎn)得2ab-3b2=0，解得b=
2
3
a，
因此，c=
a2-b2
=
5
3
a，可得橢圓的離心率e=
c
a
=
5
3
．
故選：A
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=
a2
c
上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓x2+y2=3b2的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且|PF1|=3|PF2|，則橢圓的離心率為（　　）
A．
10
4
B．
3
5
C．
7
4
D．
14
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

簡(jiǎn)化的北京奧運(yùn)會(huì)主體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)俯視圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，則外層橢圓方程可設(shè)為
x2
(ma)2
+
y2
(mb)2
=1(a＞b＞0，m＞1)．若AC與BD的斜率之積為-
9
16
，則橢圓的離心率為（　�。�
A．
7
4
B．
2
2
C．
6
4
D．
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為（　�。�
A．
1
4
B．
1
2
C．
2
2
D．
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為
5
2
，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩焦點(diǎn)為F1、F2，長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為A1、A2．
（1）P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積；
（2）若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使∠A1QA2=120°，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)F1、F2為橢圓16x2+25y2=400的焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，則△PF1F2的周長(zhǎng)是______，△PF1F2的面積的最大值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)和圓O：x2+y2=b2，若C上存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，滿足∠APB=60°，則橢圓C的離心率的取值范圍是______．

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