Question

16．方程f（x）=x的根稱為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且x₁=1000，x_n+1=$\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$，n=1，2，3，…，則x₂₀₁₅=2007．

Answer 1

分析 先根據(jù)$\frac{x}{a（x+2）}$=x轉(zhuǎn)化為二次方程，再由函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$有唯一不動(dòng)點(diǎn)可求出a的值，然后代入確定函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而可得到x_n+1、x_n的關(guān)系，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到最后答案．

解答 解：由$\frac{x}{a（x+2）}$=x得ax²+（2a-1）x=0．
因?yàn)閒（x）有唯一不動(dòng)點(diǎn)，
所以2a-1=0，即a=$\frac{1}{2}$．
所以f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，
所以x_n+1=$\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$═x_n+$\frac{1}{2}$．
所以x₂₀₁₅=x₁+$\frac{1}{2}$×2014=1000+1007=2007．
故答案為：2007．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的知識(shí)、考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的表示法．