Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，其中a≠0
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程
（2）若函數(shù)f（x）是[1，+∞）上為增函數(shù)，求非零實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），可得切線斜率，切點為（1，0），由點斜式可求切線方程；
（2）由f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，知f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=0，f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=0；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）是[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，
∴a≥1．

點評 該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想．