Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AC=2BC=2CD=4，∠ACB=∠ACD=60°．
（Ⅰ）證明：CP⊥BD；
（Ⅱ）若AP=PC=$2\sqrt{2}$，求三棱錐B-PCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AC⊥BD，由平面PAC⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAC，由此能證明CP⊥BD．
（Ⅱ）記BD交AC于點(diǎn)O，作PE⊥AC于點(diǎn)E，則PE⊥底面ABCD，由此能求出三棱錐B-PCD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵BC=CD，即△BCD為等腰三角形，
又AC平分∠BCD，故AC⊥BD，
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，
∵CP?平面PAC，∴CP⊥BD．
解：（Ⅱ）如圖，記BD交AC于點(diǎn)O，作PE⊥AC于點(diǎn)E，
則PE⊥底面ABCD，
∵AP=PC=2$\sqrt{2}$，AC=4，∴∠APC=90°，PE=2，
由OC=CD•cos60°=1，又OD=CD•sin60°=$\sqrt{3}$，
得${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴三棱錐B-PCD的體積V_P-BCD=$\frac{1}{3}•{S}_{△BCD}•PE$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查柱、錐、臺(tái)體的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．