Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．
（I）證明：PB⊥CD；
（II）求點(diǎn)A到平面PCD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ABED為正方形，過(guò)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD，OE，證明PB⊥OE，OE∥CD，即可證明PB⊥CD；
（II）取PD的中點(diǎn)F，連接OF，證明O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，即可求得點(diǎn)A到平面PCD的距離．
解答：（I）證明：取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ABED為正方形，過(guò)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD，OE
由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD
∴OA=OB=OD，即O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)
∴OE⊥BD，∴PB⊥OE
∵O是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，∴OE∥CD
∴PB⊥CD；
（II）取PD的中點(diǎn)F，連接OF，則OF∥PB
由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，
∵，=
∴△POD為等腰三角形，∴OF⊥PD
∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD
∵AE∥CD，CD?平面PCD，AE?平面PCD，∴AE∥平面PCD
∴O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離
∵OF=
∴點(diǎn)A到平面PCD的距離為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．