Question

（1）已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，且a₁，a₂是方程x²-14x+45=0的兩根，求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式
（2）設(shè)bn=

2

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a₁=5，a₂=9，從而可求公差d=4，于是可求得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=

2

anan+1

=

1

2

（

1

4n+1

-

1

4n+5

），可證得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

1

2

（

1

5

-

1

4n+5

）＜1．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，且a₁，a₂是方程x²-14x+45=0的兩根，
∴a₁=5，a₂=9，
∴公差d=4，
∴a_n=4n+1；
（2）證明：∵b_n=

2

anan+1

=

1

2

（

1

4n+1

-

1

4n+5

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n+1

-

1

4n+5

）]
=

1

2

（

1

5

-

1

4n+5

）＜

1

10

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)法求和，（2）中求得b_n=

1

2

（

1

4n+1

-

1

4n+5

）是關(guān)鍵，屬于中檔題．