Question

1．如圖，邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AF∩BC=O，DE=$\sqrt{2}$，ED∥AF且∠DAF=90°
（1）求證：DE⊥平面BCE
（2）過O作OH⊥平面BEF，垂足為H，求二面角H-AE-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AF⊥面BCE，且DE∥AF，即可得DE⊥面BCE．
（2）取BF中點(diǎn)G，連結(jié)EG，過O作OH垂直EG于H，則有OH⊥面BEF．
如圖以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．則A（0，-$\sqrt{2}$，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0$）
二面角H-AE-O等于二面角G-AE-O，利用面AEG、面AEO的法向量求解．

解答 解：（1）∵正方形ABFC的對角線AF、BC互相垂直，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF
∴AF⊥面BCE，且DE∥AF，∴DE⊥面BCE．
（2）∵∠DAF=90°，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF∴DA⊥面ABFC．
∵正方形ABFC的邊長為2，DE=$\sqrt{2}$，ED∥AF，∴EO⊥面ABFC．
取BF中點(diǎn)G，連結(jié)EG，過O作OH垂直EG于H，則有OH⊥面BEF．
如圖以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則A（0，-$\sqrt{2}$，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0$）
二面角H-AE-O等于二面角G-AE-O，
設(shè)面AEG的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y．z）$，$\overrightarrow{AG}=（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}，0）$，$\overrightarrow{AE}=（0，\sqrt{2}，2）$．
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AG}=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（-3\sqrt{2}，\sqrt{2}，-1）$．
面AEO的法向量為$\overrightarrow{OB}=（\sqrt{2}，0，0）$．
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{OB}$＞=-$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
∴二面角H-AE-O的余弦值為：$\frac{\sqrt{42}}{7}$

點(diǎn)評 本題考查了空間線面垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．