Question

半徑為

5

2

的圓C的圓心C在射線(xiàn)y=-2x（x≤0）上，且截y軸所得的弦長(zhǎng)為1．
（1）求圓C的方程．
（2）設(shè)P為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△PCO的重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，假設(shè)圓心的坐標(biāo)，利用點(diǎn)線(xiàn)距離，垂徑定理及勾股定理，求弦長(zhǎng)，故可求圓C的方程；
（2）設(shè)G（x，y），P（x₀，y₀），由重心坐標(biāo)公式有：

x= -1+x0 3 y= 2+y0 3

⇒

x0=3x+1 y0=3y-2

，利用點(diǎn)P在圓C上，可得方程．

解答：解：（1）因圓心C在射線(xiàn)y=-2x（x≤0）上，故設(shè)圓心為C（a，-2a）（a≤0），又該圓截y軸所得的弦長(zhǎng)為1，
故由垂徑定理及勾股定理知，圓心到y(tǒng)軸的距離為

( 5 2 )2-( 1 2 )2

=1，
即|a|=1，所以a=-1，從而圓C的方程為(x+1)2+(y-2)2=

5

4

．
（2）設(shè)G（x，y），P（x₀，y₀），由重心坐標(biāo)公式有：

x= -1+x0 3 y= 2+y0 3

⇒

x0=3x+1 y0=3y-2

，又點(diǎn)P在圓C上，
故(x0+1)2+(y0-2)2=

5

4

，
所以有(3x+2)2+(3y-4)2=

5

4

．
又P、C、O為三角形的三頂點(diǎn)，
故點(diǎn)P在不直線(xiàn)y=-2x上，從而點(diǎn)G也不在直線(xiàn)y=-2x上，由

y=-2x (3x+2)2+(3y-4)2= 5 4

，解得

x=- 1 2 y=1

或

x=- 5 6 y= 5 3

所以△PCO的重心G的軌跡方程為(3x+2)2+(3y-4)2=

5

4

（去除(-

1

2

，1)和(-

5

6

，

5

3

)兩點(diǎn)）．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是圓的方程的綜合應(yīng)用，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查代入法求軌跡方程，關(guān)鍵是尋找動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．