【題目】已知橢圓的上頂點為A，右焦點為F，O是坐標原點，是等腰直角三角形，且周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意求出，，的值，即可求出橢圓方程；

（2）由（1）可得直線的斜率，則可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數(shù)的范圍，設(shè)，，利用韋達定理及點到線的距離公式表示出及點到直線的距離，則利用導數(shù)求出面積的最值；

解：（1）在中，，，則，

因為是等腰直角三角形，且周長為，

所以，，，

得，，

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，則直線的斜率，

因為直線與垂直，所以可設(shè)直線的方程為，

代入，得，

則，解得，

所以.

設(shè)，，則，，.

又點到直線的距離，

所以，.

令，

則，

令，則或，

令，則或.

因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

因為，，，

所以當時，取得最大值，，

所以，

因此面積的最大值是.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列，其中．

（1）若滿足．

①當，且時，求的值；

②若存在互不相等的正整數(shù)，滿足，且成等差數(shù)列，求的值．

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前n項和為，，，若，，且恒成立，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)（，e是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)a的取值范圍為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點圖（如圖）.

1.47

20.6

0.78

2.35

0.81

-19.3

16.2

表中，.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒開一壺水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量成正比，那么為多少時燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線，的普通方程；

（2）已知點，若曲線，交于，兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知、分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線于點，線段的中垂線交于點.記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；

（2）若直線與曲線交于兩點、，則在圓上是否存在兩點、，使得，？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】平面內(nèi)與兩定點，連線的斜率之積等于的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線為.若曲線與軸的正半軸的交點為，且曲線上的相異兩點、滿足.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的圖象在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線方程；

（2）若對任意的，均有，則稱為在區(qū)間上的下界函數(shù)，為在區(qū)間上的上界函數(shù).

①若，求證：為在上的上界函數(shù)；

②若，為在上的下界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線E：（）與圓O：相交于A，B兩點，且.過劣弧上的動點作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線，，相交于點M.

（1）求拋物線E的方程；

（2）求點M到直線距離的最大值.

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