Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱C₁D₁的中點(diǎn)，則異面直線A₁B、EC的夾角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

Answer 1

分析 取A₁B₁中點(diǎn)F，則BF∥EC，∠A₁BF是異面直線A₁B、EC的夾角，由此能求出異面直線A₁B、EC的夾角的余弦值．

解答 解：取A₁B₁中點(diǎn)F，則BF∥EC，
∴∠A₁BF是異面直線A₁B、EC的夾角，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
則A₁F=1，A₁B=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
∴cos∠A₁BF=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{F}^{2}-{A}_{1}{F}^{2}}{2{A}_{1}B•BF}$=$\frac{8+5-1}{2×2\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．