【題目】已知 是平面內(nèi)凸三十五邊形的35個(gè)頂點(diǎn)，且中任何兩點(diǎn)之間的距離不小于 . 證明：從這35個(gè)點(diǎn)中可以選出五個(gè)點(diǎn)，使得這五個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)之間的距離不小于3．

【答案】見解析

【解析】

先證明一個(gè)引理

引理 設(shè) 為 這35個(gè)點(diǎn)中的任意一點(diǎn)．則在余下的34個(gè)點(diǎn)中，至多六個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)的距離小于3．

證明 用反證法.

如圖，假設(shè)有7個(gè)點(diǎn)(不妨設(shè)為)與點(diǎn)的距離小于3．

由題設(shè)知.

故 這六個(gè)角中至少有一個(gè)角不大于（不妨設(shè)）.

設(shè)，.則.

根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè).

由于，因此，

在區(qū)間)上為增函數(shù)．

故.

從而，與條件矛盾.

回到原題．

根據(jù)引理，從點(diǎn)出發(fā)的34條線段中至多有6條線段的長度小于3，即至少有28條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段的長度不小于3.

再考慮從點(diǎn)出發(fā)的27條線段．同理，至少有21條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段的長度不小于3．

再考慮從點(diǎn)出發(fā)的20條線段．同理，至少有14條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段的長度不小于3．

再考慮從點(diǎn)出發(fā)的13條線段．同理，至少有7條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段的長度不小于3．

這樣得到五個(gè)點(diǎn)、、、、 ，其中任意兩點(diǎn)之間的距離不小于3．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則關(guān)于的圖象，下列結(jié)論不正確的是

A. 周期為 B. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C. 在單調(diào)遞增 D. 在單調(diào)遞減

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào)，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，在高三年級(jí)中隨機(jī)選取名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于小時(shí)的有人，在這人中分?jǐn)?shù)不足分的有人；在每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不足于小時(shí)的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足分的占.

（1）請(qǐng)完成列聯(lián)表；并判斷是否有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；

分?jǐn)?shù)不少于分

分?jǐn)?shù)不足分

合計(jì)

線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)

線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足小時(shí)

合計(jì)

（2）在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不足于分的學(xué)生中，按照分層抽樣的方法，抽到線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)和線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足小時(shí)的學(xué)生共名，若在這名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求這人每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間都不足小時(shí)的概率.（臨界值表僅供參考）

（參考公式，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拿破侖為人好學(xué)，是法蘭西科學(xué)院院士，他對(duì)數(shù)學(xué)方面很感興趣，在行軍打仗的空閑時(shí)間，經(jīng)常研究平面幾何。他提出了著名的拿破侖定理：以三角形各邊為邊分別向外（內(nèi)）側(cè)作等邊三角形，則它們的中心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。如圖所示，以等邊的三條邊為邊，向外作個(gè)正三角形，取它們的中心，順次連接，得到，圖中陰影部分為與的公共部分。若往中投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在多面體中，是邊長為的正方形，，平面平面，，。

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年“雙十一”期間，某商場舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客消費(fèi)每滿1000元可參加一次抽獎(jiǎng)(例如：顧客甲消費(fèi)930元，不得參與抽獎(jiǎng)；顧客乙消費(fèi)3400元，可以抽獎(jiǎng)三次)。如圖1，在圓盤上繪制了標(biāo)有A，B，C，D的八個(gè)扇形區(qū)域，每次抽獎(jiǎng)時(shí)由顧客按動(dòng)按鈕使指針旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)指針會(huì)隨機(jī)停在圓盤上的某一個(gè)位置，顧客獲獎(jiǎng)的獎(jiǎng)次由指針?biāo)竻^(qū)域決定(指針與區(qū)域邊界線粗細(xì)忽略不計(jì))。商家規(guī)定：指針停在標(biāo)A，B，C，D的扇形區(qū)域分別對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金為200元、150元、100元和50元。已知標(biāo)有A，B，C，D的扇形區(qū)域的圓心角成等差數(shù)列，且標(biāo)D的扇形區(qū)域的圓心角是標(biāo)A的扇形區(qū)域的圓心角的4倍．

(I)某顧客只抽獎(jiǎng)一次，設(shè)該顧客抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金數(shù)為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(II)如圖2，該商場統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)期間一天的顧客消費(fèi)情況．現(xiàn)按照消費(fèi)金額分層抽樣選出15位顧客代表，其中獲得獎(jiǎng)金總數(shù)不足100元的顧客代表有7位．現(xiàn)從這7位顧客代表中隨機(jī)選取兩位，求這兩位顧客的獎(jiǎng)金總數(shù)和仍不足100元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線： 與圓相交的弦長等于橢圓： （）的焦距長．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點(diǎn)，橢圓與拋物線（）交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，求證： 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？

文科生

理科生

合計(jì)

獲獎(jiǎng)

6

不獲獎(jiǎng)

合計(jì)

400

（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：，其中.

.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線虛軸的左端點(diǎn)，已知的離心率為，且的面積.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，動(dòng)直線與相切于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，試推斷以線段為直徑的圓是否恒經(jīng)過軸上的某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案