Question

在一次研究性學(xué)習(xí)中，老師給出函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時
給出命題：你認(rèn)為上述三個命題中正確的個數(shù)有（　�。�
甲：函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；乙：若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），則f_n（x）≥

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：甲：利用函數(shù)的奇偶性單調(diào)性即可得出；
乙：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
丙：利用函數(shù)的奇偶性、數(shù)學(xué)歸納法即可得出．

解答： 解：甲：由函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），當(dāng)x≥0時，f（x）=

x

1+x

，∴0≤f（x）＜1；∵f（-x）=-f（x），∴當(dāng)x＜0時，∴-1＜f（x）＜0．
因此值域為（-1，1），正確．
乙：當(dāng)x≥0時，f（x）=

x

1+x

，f′（x）=

1

(1+x)2

＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（x）≥0；同理，當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，且f（x）＜0．
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），正確；
丙：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，因此只考慮0＜x即可．
f₁（x）=f（x）=

x

1+x

，因此當(dāng)n=1時成立．當(dāng)n=2時，f₂（x）=f（f₁（x））=

f1(x)

1+f1(x)

=

x 1+x

1+ x 1+x

=

x

1+2x

也成立．
假設(shè)當(dāng)n=k時成立，f_k（x）≥

x

1+kx

．
則當(dāng)n=k+1時，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

fk(x)

1+fk(x)

≥

x 1+kx

1+ x kx+1

=

x

1+(k+1)x

，也成立．因此正確．
綜上可得：甲乙丙都正確．
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．