Question

8．設雙曲線C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1，則其兩焦點的坐標為（0，±$\sqrt{5}$）；若雙曲線C₁經過點（$\sqrt{5}$，-2），且與雙曲線C具有相同的漸近線，則雙曲線C₁的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 求得雙曲線C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1的a，b，c，可得焦點的坐標；由與雙曲線C具有相同的漸近線的雙曲線C₁的方程設為$\frac{y^2}{4}$-x²=m（m≠0），代入點（$\sqrt{5}$，-2），解方程可得m，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
可得焦點為（0，±$\sqrt{5}$）；
與雙曲線C具有相同的漸近線的雙曲線C₁的方程設為：
$\frac{y^2}{4}$-x²=m（m≠0），
代入點（$\sqrt{5}$，-2），可得m=$\frac{4}{4}$-5=-1，
可得雙曲線C₁的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：（0，±$\sqrt{5}$）；x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是焦點的坐標和漸近線方程，注意運用雙曲線的方程和漸近線方程的關系，考查運算能力，屬于基礎題．