Question

16．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1

Answer 1

分析 由題意可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，求出漸近線方程代入拋物線的方程，運用判別式為0，解方程可得a=2，b=1，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：由題意可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
將漸近線方程和拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$聯(lián)立，
可得$\frac{1}{4}$x²±$\frac{a}$x+$\frac{1}{4}$=0，
由直線和拋物線相切的條件，可得
△=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-4×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=0，
即有a²=4b²，
解得a=2，b=1，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用漸近線和拋物線相切的條件：判別式為0，考查運算能力，屬于中檔題．