Question

10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，2}]$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，實(shí)數(shù)b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，可得f（|log₂b|）≤f（1），利用f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，可得|log₂b|≤1，即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，實(shí)數(shù)b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，
∴f（|log₂b|）≤f（1），
∵f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴|log₂b|≤1，
∴-1≤log₂b≤1，
∴b∈$[{\frac{1}{2}，2}]$，
故答案為$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和運(yùn)用，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．