Question

【題目】已知實數(shù)a滿足1＜a≤2，設(shè)函數(shù)f (x)＝x3－x2＋ax．

(Ⅰ) 當(dāng)a＝2時，求f (x)的極小值；

(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，

求證：g(x)的極大值小于等于10．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 極小值為f (2)＝(Ⅱ)證明如下

【解析】

(Ⅰ)解：當(dāng)a＝2時，f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

列表如下：

x	(－，1)	1	(1，2)	2	(2，＋)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以，f (x)的極小值為f (2)＝．…………………………………6分

(Ⅱ) 解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由于a＞1，

所以f (x)的極小值點x＝a，則g(x)的極小值點也為x＝a．

而g′ (x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，

所以，

即b＝－2(a＋1)．

又因為1＜a≤2，

所以g(x)極大值＝g(1)

＝4＋3b－6(b＋2)

＝－3b－8

＝6a－2

≤10．

故g(x)的極大值小于等于10．…………………………15分