設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1，2，3，…，其中A、B為常數(shù)．

(1)求A與B的值；

(2)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

(3)證明：不等式＞1對任何正整數(shù)m、n都成立．

答案：
解析：

　　

　　解得A＝－20，B＝－8．

　　(2)證法1：由(1)得(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，①

　　∴(5n－3)Sn+2－(5n＋7)Sn+1＝－20n－28．②

　�、冢俚�(5n－3)Sn+2－(10n－1)Sn+1＋(5n＋2)Sn＝－20，③

　　∴(5n＋2)Sn+3－(10n＋9)Sn+2＋(5n＋7)Sn+1＝－20．④

　　④－③得(5n＋2)Sn+3－(15n＋6)Sn+2＋(15n＋6)·Sn+1－(5n＋2)Sn＝0．

　　∵an+1＝Sn+1－Sn，

　　∴(5n＋2)an+3－(10n＋4)an+2＋(5n＋2)an+1＝0．

　　又∵5n＋2≠0，

　　∴an+3－2an+2＋an+1＝0，

　　即an+3－an+2＝an+2－an+1，n≥1．

　　又a3－a2＝a2－a1＝5，

　　∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

　　證法2：由已知，S1＝a1＝1，

　　又(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，且5n－8≠0．

　　∴數(shù)列{Sn}是唯一確定的，因而數(shù)列{an}是唯一確定的．設bn＝5n－4，

　　


提示：

主要考查等差數(shù)列的有關知識、不等式的證明方法，考查思維能力和運算能力．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且Sn=3n+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=an（2n-1），求數(shù)列{bn}的前n項的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列an的前n項的和為Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求數(shù)列an的通項公式；
（3）設bn=(2log
3
2
an+1)•an，求數(shù)列bn的前n項的和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求an和an-1的關系式；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）證明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn，若Dn內的整點（整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）個數(shù)為an（n∈N*）
（1）寫出an+1與an的關系（只需給出結果，不需要過程），
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設數(shù)列an的前n項和為Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若對一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•鄭州一模）設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1，則
S4
a3
的值為（　�。�

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