Question

1．已知直線l₁：x+ay=2a+2和l₂：ax+y=a+1．
（Ⅰ） 若l₁⊥l₂，求a的值；
（Ⅱ） 若l₁∥l₂，求這兩條平行線間的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)兩條直線垂直時，A₁A₂+B₁B₂=0，解方程求出a的值．
（Ⅱ）利用兩直線平行時，由A₁B₂+A₂B₁=0且A₁C₂+A₂C₁≠0，求出a的值，再根據(jù)平行線間的距離公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）已知直線直線l₁：x+ay=2a+2，和l₂：ax+y=a+1，
若l₁⊥l₂，由A₁A₂+B₁B₂=0得：a+a=0，
∴a=0．
（Ⅱ）解法一：若l₁∥l₂，由A₁B₂+A₂B₁=0且A₁C₂+A₂C₁≠0，得$\left\{\begin{array}{l}{1-{a}^{2}=0}\\{-a（a+1）+2a+2≠0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=±1}\\{a≠-1且a≠2}\end{array}\right.$，a=1．
這時，l₁：x+-4=0和l₂：x+y-2=0，
這兩條平行線間的距離$d=\frac{{|{C_1}-{C_2}|}}{{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩直線相交、垂直、平行、重合的條件，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．屬于基礎(chǔ)題．