Question

已知定義在（-∞，+∞）的函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，恒有f（x+）=-f（x）成立．
（1）求證：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并求出它的最小正周期T；
（2）若函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求出f（x）的解析式，寫出它的對(duì)稱軸方程．

Answer 1

（1）證明：∵f（x+）=-f（x），
∴f[（x+）+]=-f（x+）=-[-f（x）]=f（x），…2分
∴f（x）是周期函數(shù)，它的最小正周期為π；…4分
（2）由（1）知f（x）的最小正周期為π，ω＞0，
∴=π，
∴ω=2，…6分
由圖象知，A=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），…8分
又2×+φ=π，
∴φ=，
∴f（x）=2sin（2x+），…10分
由2x+=kπ+得：x=+（k∈Z），
∴它的對(duì)稱軸方程為：x=+（k∈Z）…12分
分析：（1）由f（x+）=-f（x），利用周期函數(shù)的概念可證得函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并求出它的最小正周期T；
（2）由圖可求得ω，A，φ，從而可求得f（x）的解析式，并能求得它的對(duì)稱軸方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求φ是難點(diǎn)；考查函數(shù)的周期性，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題．